Wszystko - Twierdzenie vsn Aubela

Strona startowa
Kontakt
Księga gości
Technika
Historia
Astronomia
Podział administracyjny
Państwo
Muzyka
Zwierzęta
Rośliny
Mitologia
Malarstwo
Wrestling
Piłka Nożna
Zespół muzyczny
Film
Kabaret
Partia Polityczna
Polityka
Siły Zbrojne, Wojsko
Zasoby naturalne
Medycyna
Papież
Religia, Związek wyznaniowy
Firma, Przedsiebiorstwo, Koncern, Korporacja, Spółka
Serial Telewizyjny, Telenowela
Hutnictwo
Plemię, Wielkie Plemię
Wieżowiec
Rolnictwo
Czasopismo, Gazeta
Święci, Błogosławieni i Słudzy Boży
Literatura
Miasto, Wieś, Osada
Pisarz; Poeta; Dramaturg
Imię
Książęta, Królowie,Cesarze, Prezydenci, Premieerzy, Ministrowie, Politycy
Rody,Dynastie
Gra komputerowa
Kościół (budynek) i Cerkiew (budybek)
Narkotyk
Transatlantyk (statek)
Fantastyka
Chemia
Fundacja
Skoki Narciarskie
Zamek, pałac
Stadion, Hala
Wielka Rzeczpospolita
Chorby
Sporty Walki, sztuki walki
Reality Show
Synagoga
Ankiety
Portal Internetowy, Strona intrnetowa
Organizacja, początki, początki,teologia i liturgia
Aktor, Muzyk, Kompozytor, Producent filmowy, Producent muzyczny, Dialogista
Uniwersytet, Politecjnika, Akademia, Szkoła wyższa
Album, Singiel
Filozofia
Telewizja publiczna, Telewizja
Patriarcha
Matematyka, Logika
=> Algebra
=> Geometria
=> Arytmetyka
=> Automat Mealy'ego
=> Automat Moore'a
=> Automat skończony
=> Twierdzenie Pitagorasa
=> Twierdzenie Talesa
=> Twierdzenie Menelaosa
=> Twierdzenie Cevy
=> Twierdzenie vsn Aubela
=> Twierdzenie Napoleona
Język (mowa)
Kopalnie
Prawo
Informatyka
Szkoła Podstawowa, Gimnazjum, Liceum Ogólnokrzałcące, Technikum, Zasadnicza Szkoła Zawodowa, Liceum Profilowane
Dziennikarz, Publicysta,
Fizyka
Biologia
Ekonomia
Elektrownia, Elektrociepłownia, Ciepłownia
Zakon
Charakterystyki postaci
Psychologia, Psychiatria, Seksuologia
Komiks
Rzemiosło
Fikcyjne Organizacje i Organy władzy
Skala Termometryczna
Gatunek Muzyczny
Fikcyjne Konflikty zbrojne i bitwy
Waluta
Zawód
Architektura
Inżynieria
Plac, Rynek
Meczet
Kopalnia
Cmentarz, Kirkut, Mizar
Klasztor, Monastyr, Ławra, Klasztor buddyjski
Pisarz, Poeta, Dramaturg
Boks
Karty do gry



 

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H. H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Twierdzenie van Aubela dla czworokąta

Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych jak i wklęsłych
Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt ABCD. Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty KAB,KBC,KCD i KDA (takie, że odcinek XY jest bokiem kwadratu KXY). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli ZAB,ZBC,ZCD,ZDA są środkami kwadratów KAB,KBC,KCD,KDA (odpowiednio), to odcinki ZABZCD i ZBCZDA są prostopadłe i mają tę samą długość.

Twierdzenie van Aubela dla trójkąta

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt triangle ABC proste i niech P będzie punktem Cevy w tym trójkącie, to znaczy P jest punktem przecięcia trzech prostych łaczących wierzchołki tójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą oznaczone AA1, BB1 i CC1, gdzie A_{1} in overline{BC}, B_{1} in overline{AC}, C_{1} in overline{AB}. Wówczas.

Dowód

Niech P_{triangle XYZ} oznacza pole trójkąta triangle XYZ. Trójkąty triangle ABC i triangle PBC mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak frac{AA_1}{PA_1}. Zachodzi więc,

skąd wynika, że.

Rozważając trójkąty triangle ACC_1 i triangle BCC_1 zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka C), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

W podobny sposób otrzymujemy też.

Zatem

a z tych równości wynika, że(i)   frac{AC_{1}}{C_{1}B}=frac{P_{triangle ACP}}{P_{triangle BCP}}.

Analogicznie uzasadniamy równość(ii)  frac{AB_1}{B_1C}=frac{P_{triangle APB}}{P_{triangle BCP}}.

Dodając stronami równości (i) oraz (ii) otrzymujemy,

co należało wykazać.

Dzisiaj stronę odwiedziło już 52 odwiedzający (301 wejścia) tutaj!
=> Chcesz darmową stronę ? Kliknij tutaj! <=