Wszystko - Twierdzenie vsn Aubela

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H. H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Twierdzenie van Aubela dla czworokąta

Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych jak i wklęsłych

Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt $A B C D$ . Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty $K A B, K B C, K C D$ i $K D A$ (takie, że odcinek $X Y$ jest bokiem kwadratu $K X Y$ ). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli $Z A B, Z B C, Z C D, Z D A$ są środkami kwadratów $K A B, K B C, K C D, K D A$ (odpowiednio), to odcinki $Z A B Z C D$ i $Z B C Z D A$ są prostopadłe i mają tę samą długość.

Twierdzenie van Aubela dla trójkąta

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt $triangle ABC$ proste i niech P będzie punktem Cevy w tym trójkącie, to znaczy P jest punktem przecięcia trzech prostych łaczących wierzchołki tójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą oznaczone $A A 1$ , $B B 1$ i $C C 1$ , gdzie $A_{1} in overline{BC}$ , $B_{1} in overline{AC}$ , $C_{1} in overline{AB}$ . Wówczas.

Dowód

Niech $P_{triangle XYZ}$ oznacza pole trójkąta $triangle XYZ$ . Trójkąty $triangle ABC$ i $triangle PBC$ mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak $frac{AA_1}{PA_1}$ . Zachodzi więc,

skąd wynika, że.

Rozważając trójkąty $triangle ACC_1$ i $triangle BCC_1$ zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka C), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

W podobny sposób otrzymujemy też.

Zatem

a z tych równości wynika, że(i) $frac{AC_{1}}{C_{1}B}=frac{P_{triangle ACP}}{P_{triangle BCP}}$ .

Analogicznie uzasadniamy równość(ii) $frac{AB_1}{B_1C}=frac{P_{triangle APB}}{P_{triangle BCP}}$ .

Dodając stronami równości (i) oraz (ii) otrzymujemy,

co należało wykazać.