Wszystko - Twierdzenie Menelaosa

Strona startowa
Kontakt
Księga gości
Technika
Historia
Astronomia
Podział administracyjny
Państwo
Muzyka
Zwierzęta
Rośliny
Mitologia
Malarstwo
Wrestling
Piłka Nożna
Zespół muzyczny
Film
Kabaret
Partia Polityczna
Polityka
Siły Zbrojne, Wojsko
Zasoby naturalne
Medycyna
Papież
Religia, Związek wyznaniowy
Firma, Przedsiebiorstwo, Koncern, Korporacja, Spółka
Serial Telewizyjny, Telenowela
Hutnictwo
Plemię, Wielkie Plemię
Wieżowiec
Rolnictwo
Czasopismo, Gazeta
Święci, Błogosławieni i Słudzy Boży
Literatura
Miasto, Wieś, Osada
Pisarz; Poeta; Dramaturg
Imię
Książęta, Królowie,Cesarze, Prezydenci, Premieerzy, Ministrowie, Politycy
Rody,Dynastie
Gra komputerowa
Kościół (budynek) i Cerkiew (budybek)
Narkotyk
Transatlantyk (statek)
Fantastyka
Chemia
Fundacja
Skoki Narciarskie
Zamek, pałac
Stadion, Hala
Wielka Rzeczpospolita
Chorby
Sporty Walki, sztuki walki
Reality Show
Synagoga
Ankiety
Portal Internetowy, Strona intrnetowa
Organizacja, początki, początki,teologia i liturgia
Aktor, Muzyk, Kompozytor, Producent filmowy, Producent muzyczny, Dialogista
Uniwersytet, Politecjnika, Akademia, Szkoła wyższa
Album, Singiel
Filozofia
Telewizja publiczna, Telewizja
Patriarcha
Matematyka, Logika
=> Algebra
=> Geometria
=> Arytmetyka
=> Automat Mealy'ego
=> Automat Moore'a
=> Automat skończony
=> Twierdzenie Pitagorasa
=> Twierdzenie Talesa
=> Twierdzenie Menelaosa
=> Twierdzenie Cevy
=> Twierdzenie vsn Aubela
=> Twierdzenie Napoleona
Język (mowa)
Kopalnie
Prawo
Informatyka
Szkoła Podstawowa, Gimnazjum, Liceum Ogólnokrzałcące, Technikum, Zasadnicza Szkoła Zawodowa, Liceum Profilowane
Dziennikarz, Publicysta,
Fizyka
Biologia
Ekonomia
Elektrownia, Elektrociepłownia, Ciepłownia
Zakon
Charakterystyki postaci
Psychologia, Psychiatria, Seksuologia
Komiks
Rzemiosło
Fikcyjne Organizacje i Organy władzy
Skala Termometryczna
Gatunek Muzyczny
Fikcyjne Konflikty zbrojne i bitwy
Waluta
Zawód
Architektura
Inżynieria
Plac, Rynek
Meczet
Kopalnia
Cmentarz, Kirkut, Mizar
Klasztor, Monastyr, Ławra, Klasztor buddyjski
Pisarz, Poeta, Dramaturg
Boks
Karty do gry



 

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już przed nim. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Treść 

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta triangle ABC i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D,E,F w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli.

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A to E to C to D to B to F to A skrótowo zapisywane zwykle jako AECDBFA,

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:.

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód 

Niech X będzie przecięciem prostej równoległej do AC przechodzącej przez punkt B z poprzeczną. Trójkąty triangle XBF i triangle EAF są podobne. Z twierdzenia Talesa:

frac{|BX|}{|AE|} = frac{|BF|}{|FA|} czyli |XB|=frac{|BF|}{|FA|} cdot |AE|

Trójkąty triangle CED i triangle BXD są podobne. Zatem jest:

frac{|CE|}{|XB|} = frac{|DC|}{|DB|} czyli frac{1}{|XB|}=frac{|DC|}{|DB|} cdot frac{1}{|CE|}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1=frac{|BF|}{|FA|} cdot frac{|DC|}{|DB|} cdot frac{|AE|}{|CE|},

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach AB i BC trójkąta triangle ABC dane są punkty E i D, a na przedłużeniu boku AC punkt F tak, że:
|AE| cdot |CD| cdot |BF| = |BD| cdot |AF| cdot |CE|,
to punkty D,E,F są współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód 

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

|AE| cdot |CD| cdot |BF| = |BD| cdot |AF| cdot |CE| (1)

oraz D,E leżą na bokach trójkąta, zaś F na prostej AB poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt F' ne F, że D,E,F' są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

|AE| cdot |CD| cdot |BF'| = |BD| cdot |AF'| cdot |CE|.

Zatem dla dwóch różnych punktów F,F' leżących na prostej AB poza odcinkiem AB zachodzi

frac{|AF'|}{|BF'|}=frac{|AF|}{|BF|},

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty D,E,F spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

Dzisiaj stronę odwiedziło już 52 odwiedzający (310 wejścia) tutaj!
=> Chcesz darmową stronę ? Kliknij tutaj! <=