Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Treść 

Jeżeli trzy proste AD,BE i CF przechodzące przez wierzchołki trójkąta ABC przecinają się w jednym punkcie to,:

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych O może leżeć poza trójkątem.

Dowód 

Przyjmijmy, że:

Wtedy:

oraz

Z tego wynika, że

Analogicznie:

Zatem:

Po skróceniu otrzymujemy:,

ale

więc:

Twierdzenie odwrotne 

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe. Załóżmy, że punkty D, E i F spełniają powyższe równanie. Niech AD i BE przecinają się w O i niech CO przecina AB w F'. Z udowodnionej przed chwilą implikacji,.

Z porównania dwóch ostatnich równań jest.

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości AF' + F'B = AF + FB = AB, zachodzi.

A więc F'B = FB, czyli F i F' pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej AB o początku w B). A więc AD, BE i CF = CF' przecinają się w O.

Zastosowania

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)