Wszystko - Twierdzenie Pitagorasa

Strona startowa
Kontakt
Księga gości
Technika
Historia
Astronomia
Podział administracyjny
Państwo
Muzyka
Zwierzęta
Rośliny
Mitologia
Malarstwo
Wrestling
Piłka Nożna
Zespół muzyczny
Film
Kabaret
Partia Polityczna
Polityka
Siły Zbrojne, Wojsko
Zasoby naturalne
Medycyna
Papież
Religia, Związek wyznaniowy
Firma, Przedsiebiorstwo, Koncern, Korporacja, Spółka
Serial Telewizyjny, Telenowela
Hutnictwo
Plemię, Wielkie Plemię
Wieżowiec
Rolnictwo
Czasopismo, Gazeta
Święci, Błogosławieni i Słudzy Boży
Literatura
Miasto, Wieś, Osada
Pisarz; Poeta; Dramaturg
Imię
Książęta, Królowie,Cesarze, Prezydenci, Premieerzy, Ministrowie, Politycy
Rody,Dynastie
Gra komputerowa
Kościół (budynek) i Cerkiew (budybek)
Narkotyk
Transatlantyk (statek)
Fantastyka
Chemia
Fundacja
Skoki Narciarskie
Zamek, pałac
Stadion, Hala
Wielka Rzeczpospolita
Chorby
Sporty Walki, sztuki walki
Reality Show
Synagoga
Ankiety
Portal Internetowy, Strona intrnetowa
Organizacja, początki, początki,teologia i liturgia
Aktor, Muzyk, Kompozytor, Producent filmowy, Producent muzyczny, Dialogista
Uniwersytet, Politecjnika, Akademia, Szkoła wyższa
Album, Singiel
Filozofia
Telewizja publiczna, Telewizja
Patriarcha
Matematyka, Logika
=> Algebra
=> Geometria
=> Arytmetyka
=> Automat Mealy'ego
=> Automat Moore'a
=> Automat skończony
=> Twierdzenie Pitagorasa
=> Twierdzenie Talesa
=> Twierdzenie Menelaosa
=> Twierdzenie Cevy
=> Twierdzenie vsn Aubela
=> Twierdzenie Napoleona
Język (mowa)
Kopalnie
Prawo
Informatyka
Szkoła Podstawowa, Gimnazjum, Liceum Ogólnokrzałcące, Technikum, Zasadnicza Szkoła Zawodowa, Liceum Profilowane
Dziennikarz, Publicysta,
Fizyka
Biologia
Ekonomia
Elektrownia, Elektrociepłownia, Ciepłownia
Zakon
Charakterystyki postaci
Psychologia, Psychiatria, Seksuologia
Komiks
Rzemiosło
Fikcyjne Organizacje i Organy władzy
Skala Termometryczna
Gatunek Muzyczny
Fikcyjne Konflikty zbrojne i bitwy
Waluta
Zawód
Architektura
Inżynieria
Plac, Rynek
Meczet
Kopalnia
Cmentarz, Kirkut, Mizar
Klasztor, Monastyr, Ławra, Klasztor buddyjski
Pisarz, Poeta, Dramaturg
Boks
Karty do gry



 

Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

Treść twierdzenia

Trójkąt prostokątny o bokach a, b i c
Twierdzenie Pitagorasa

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

a^2 + b^2 = c^2!

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

Dowody 

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Dowód - układanka 

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b; i c; jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b; w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Dowód - układanka

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Dowód przez podobieństwo (szkolny)

"Trójkąty podobne"

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – triangle ABC, "różowy" – triangle ADC i "niebieski" – triangle DBC są podobne. Niech |AB| = c, |BC| = a; i |AC| = b;. Można napisać proporcje:,.

Stąd:

i po dodaniu stronami:

 

Dowód czysto geometryczny

Jeden z dowodów Euklidesa

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego triangle ABC są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu Box ACJK; jest równe podwojonemu polu trójkąta triangle KAB – podstawą trójkąta triangle KAB jest bok KA; kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA; tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD; jest równe podwojonemu polu trójkąta triangle CAE – podstawą trójkąta triangle CAE jest bok AE; prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG; prostokąta. Jednak trójkąty triangle KAB i triangle CAE są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – |KA| = |CA|, |AB| = |AE|; i kąt sphericalangle KAB jest równy kątowi sphericalangle CAE – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu Box ACJK jest równe polu prostokąta AEGD;.

Analogicznie (rozważając trójkąty triangle CBF i triangle HBA można udowodnić, że pole kwadratu Box CBHI jest równe polu prostokąta BFGD;. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu Box AEFB;.

Dowód Garfielda

"Ilustracja dowodu Garfielda"

Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje: na przyprostokątnej |BC|=a; danego trójkąta prostokątnego triangle ABC odkładamy |CD|=|AB|=b;, a następnie na prostej ED; równoległej do AB; odkładamy |BC|=a;. Trójkąt triangle ACE jest prostokątny ( sphericalangle ACE=180^circ-sphericalangle ACB-sphericalangle ECD=180^circ-sphericalangle ACB-sphericalangle CAB=sphericalangle ABC=90^circ) i równoramienny, a jego pole wynosi {|AC|^2 over 2} = {c^2 over 2}; pola trójkątów triangle ABC i triangle CDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie 2 cdot {ab over 2}. Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE; o polu tfrac{(b+a)(a+b)}{2}. Stąd równości:

Twierdzenie odwrotne

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Kąt prosty w trójkącie egipskim

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b; i c; takie, że a^2 + b^2 = c^2;, to istnieje trójkąt o bokach długości a, b; i c,; a kąt między bokami o długości a; i b; jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3;, 4; i 5; jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3; i 4;.

Dowód

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt triangle ABC; o bokach odpowiednio:

spełniający warunek:.

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt triangle KLM; taki że:

oraz

Trójkąt triangle KLM; jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok LM; :

z trójkąta ABC; mamy:

zatem:

Okazało się, że:

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty triangle ABC; i triangle KLM; są przystające. Z faktu, iż trójkąt triangle KLM; jest prostokątny wynika, że trójkąt triangle ABC; jest prostokątny.

Uogólnienia

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Twierdzenie cosinusów

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów i znane było już w starożytności:

Jeśli w trójkącie o bokach długości a, b; i c; oznaczyć przez gamma; miarę kąta leżącego naprzeciw boku c;, to prawdziwa jest równość:

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach 

Trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów zgrabnie sformułował Edsger Dijkstra:
Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości a,b i c znajdują się odpowiednio kąty α,β,γ, to zachodzi równość:,

gdzie operatorname{sgn} oznacza funkcję signum.

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową 

Niech V; będzie przestrzenią euklidesową oraz x,yin V;. Jeśli xperp y;, to |x|^2+|y|^2=|x+y|^2;
Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Uwagi

Trzeba zauważyć, że twierdzenie Pitagorasa jest twierdzeniem geometrii euklidesowej i wynika z aksjomatów tej teorii, a w istocie równoważne jest słynnemu piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. Nie musi być ono prawdziwe dla trójkątów, które mierzymy w naszym wszechświecie. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Gauss, który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest jednak prawdziwe – obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna.

Ogólna teoria względności mówi, że w polach grawitacyjnych twierdzenie jest fałszywe (tam także obowiązuje nieeuklidesowa geometria Riemanna). Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być fałszywe w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali. Jest to jeden z otwartych problemów kosmologii.

Dzisiaj stronę odwiedziło już 14 odwiedzający (185 wejścia) tutaj!
=> Chcesz darmową stronę ? Kliknij tutaj! <=