Wszystko - Twierdzenie Talesa

Strona startowa
Kontakt
Księga gości
Technika
Historia
Astronomia
Podział administracyjny
Państwo
Muzyka
Zwierzęta
Rośliny
Mitologia
Malarstwo
Wrestling
Piłka Nożna
Zespół muzyczny
Film
Kabaret
Partia Polityczna
Polityka
Siły Zbrojne, Wojsko
Zasoby naturalne
Medycyna
Papież
Religia, Związek wyznaniowy
Firma, Przedsiebiorstwo, Koncern, Korporacja, Spółka
Serial Telewizyjny, Telenowela
Hutnictwo
Plemię, Wielkie Plemię
Wieżowiec
Rolnictwo
Czasopismo, Gazeta
Święci, Błogosławieni i Słudzy Boży
Literatura
Miasto, Wieś, Osada
Pisarz; Poeta; Dramaturg
Imię
Książęta, Królowie,Cesarze, Prezydenci, Premieerzy, Ministrowie, Politycy
Rody,Dynastie
Gra komputerowa
Kościół (budynek) i Cerkiew (budybek)
Narkotyk
Transatlantyk (statek)
Fantastyka
Chemia
Fundacja
Skoki Narciarskie
Zamek, pałac
Stadion, Hala
Wielka Rzeczpospolita
Chorby
Sporty Walki, sztuki walki
Reality Show
Synagoga
Ankiety
Portal Internetowy, Strona intrnetowa
Organizacja, początki, początki,teologia i liturgia
Aktor, Muzyk, Kompozytor, Producent filmowy, Producent muzyczny, Dialogista
Uniwersytet, Politecjnika, Akademia, Szkoła wyższa
Album, Singiel
Filozofia
Telewizja publiczna, Telewizja
Patriarcha
Matematyka, Logika
=> Algebra
=> Geometria
=> Arytmetyka
=> Automat Mealy'ego
=> Automat Moore'a
=> Automat skończony
=> Twierdzenie Pitagorasa
=> Twierdzenie Talesa
=> Twierdzenie Menelaosa
=> Twierdzenie Cevy
=> Twierdzenie vsn Aubela
=> Twierdzenie Napoleona
Język (mowa)
Kopalnie
Prawo
Informatyka
Szkoła Podstawowa, Gimnazjum, Liceum Ogólnokrzałcące, Technikum, Zasadnicza Szkoła Zawodowa, Liceum Profilowane
Dziennikarz, Publicysta,
Fizyka
Biologia
Ekonomia
Elektrownia, Elektrociepłownia, Ciepłownia
Zakon
Charakterystyki postaci
Psychologia, Psychiatria, Seksuologia
Komiks
Rzemiosło
Fikcyjne Organizacje i Organy władzy
Skala Termometryczna
Gatunek Muzyczny
Fikcyjne Konflikty zbrojne i bitwy
Waluta
Zawód
Architektura
Inżynieria
Plac, Rynek
Meczet
Kopalnia
Cmentarz, Kirkut, Mizar
Klasztor, Monastyr, Ławra, Klasztor buddyjski
Pisarz, Poeta, Dramaturg
Boks
Karty do gry



 

Twierdzenie Talesa – jedno z najważniejszych twierdzeń całej geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu.

Treść 

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Prezentacja twierdzenia Prezentacja twierdzenia

Dla powyższych rysunków zachodzi: frac{|AD|}{|AE|}=frac{|DB|}{|EC|}=frac{|AB|}{|AC|}

lub po przekształceniu: frac{|AE|}{|EC|}=frac{|AD|}{|DB|} oraz frac{|AE|}{|AC|}=frac{|AD|}{|AB|} a także frac{|AC|}{|EC|}=frac{|AB|}{|DB|}.

Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: frac{|AD|}{|DE|}=frac{|AB|}{|BC|}, ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

Dowód 

Dowód twierdzenia

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

  1. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
  2. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód

Trójkąty CED i EAD mają wspólną wysokość h', więc na mocy lematu 1.:

frac{|CE|}{|EA|} = frac{[CED]}{[EAD]}.

Dodatkowo trójkąty CED i BDE mają wspólną podstawę ED i równe wysokości h, dlatego na mocy lematu 2.:

[CED] = [BDE], stąd frac{[CED]}{[EAD]} = frac{[BDE]}{[EAD]}.

Trójkąty BDE i EAD mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:.

Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się,

czego należało dowieść.

Komentarz 

W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić... właśnie z twierdzenia Talesa.

Aby ustrzec się błędnego koła twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue'a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy frac{|AD|}{|DB|} = frac{|AE|}{|EC|} = 1, podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa 

Jeżeli ramiona kąta przecięte są dwiema prostymi nie pokrywającymi się z tymi ramionami i zachodzi którykolwiek z warunków:

gdzie:

  • A to wierzchołek kąta
  • Punkty przecięcia pierwszej prostej to B (z pierwszym ramieniem) i C (z drugim ramieniem)
  • Punkty przecięcia drugiej prostej to D (z pierwszym ramieniem) i E (z drugim ramieniem)

to proste są równoległe.
(Jeśli zachodzi jeden z tych warunków, to drugi również)

Warunki te są spełnione dla prostych równoległych (twierdzenie Talesa) ale nie tylko dla nich. Wystarczy wyjść od prostych równoległych i odbić punkt E symetrycznie względem punktu C, a równania (1), (2) i (4) pozostaną spełnione, choć proste nie będą już równoległe. Analogicznie, po odbiciu punktu C wzlędem E, spełnione będą równania (3) i (4).

Zastosowania

Podział odcinka w danym stosunku

Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku a:b.

Podział odcinka w danym stosunku

Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.

Dzisiaj stronę odwiedziło już 47 odwiedzający (220 wejścia) tutaj!
=> Chcesz darmową stronę ? Kliknij tutaj! <=